計劃目的及內容

在訊號處理運算中常出現一連串的複雜運算也容易使人計算錯誤，重新驗證必須花費大量的時間，為了計算的方便與正確，使用MATLAB來撰寫程式會使得在運算上節省不少的時間，也因此這樣我們專題製作主要範圍是要以常使用在工程上的數學運算上去發展，如；線性代數、多項式的求解、機率的計算…等，研究出更多的程式功能讓使用者方便運算。

頻率響應的低通濾波器是「理想化的」，它使得位於通帶中的所有頻率成分毫無失真地通過，去除所有位於止帶中的頻率成分，並且從通帶到止帶的過渡帶是很陡峭的。這些性質導致一個不可實作的濾波器。因此，從實用的觀點來看，審慎的方法是容許相對於這些理想條件的「偏差」，來容忍一個可被接受程度的失真，正如同這裡針對連續時間或類比濾波器的情況所做的描述：

●在通帶中，該濾波器的振幅響應應該介於1與之間；亦即，

當時，       (1)

其中，是通帶截止頻率(passband cutoff frequency)而是容限參數(tolerance parameter)。

●在止帶中，該濾波器的振幅響應應該不超過；亦即，

當時，               (2)

其中，是止帶截止頻率(stopband cutoff frequency)而是另一個容限參數。(在此使用的參數請勿與單位脈衝的符號混淆。)

●過渡帶的頻寬是一個有限值。

圖 (1) 的容限圖描繪了這些濾波器的規格。類似的規格也使用在離散時間的濾波器，並帶有額外的規定，即該響應相對於的週期永遠都是。

圖 (1) 某個實際低通濾波器的容限圖

圖1. 的容限圖表需要一個近似函數，當頻率位於通帶範圍時，函數值介於1與1-ε之間。巴特渥斯函數符合這個要求，但是它的近似能力卻集中在的附近。對於已知的濾波器階數，我們可以利用通帶中具有等幅漣波特性的近似函數(亦即，當時，均勻地在1與1-ε之間震盪)得到一個過度帶頻寬經過縮減的濾波器，如圖2.(a)與2.(b)所示，分別相對於、，以及通帶中的0.5dB的漣波。在這裡所繪製的振幅響應滿足較早之前所描述，分別對於K是奇數與K是偶數的等幅漣波準則。帶有等幅漣波振幅響應的所有近似函數即是所謂的的柴比雪夫函數(Chebyshev functions)。在這個基礎上所設計的濾波器稱為柴比雪夫濾波器。

圖 2.(a) 階數K=3及帶通漣波=0.5dB的柴比雪夫濾波器振幅響應

柴比雪夫濾波器轉換函數的極點位於s平面中的一個橢圓上，而且在某種程度上與所對應巴特臥斯濾波器的極點密

圖 2.(b) 階數K=4及帶通漣波=0.5dB的柴比雪夫濾波器振幅響應

切相關。在止帶中，如圖2. 所示的柴比雪夫函數行為表現是單調的。另外我們可以使用另一種在通帶裡顯示單調響應，但在紙代理顯示等幅漣波響應的柴比雪夫函數，圖3.(a)與3.(b)是分別針對K=3,4以及30Db的止帶漣波。在這個基礎上所設計的濾波器稱為逆柴比雪夫濾波器(inverse Chebyshev filter)。不同於柴比雪夫濾波器，逆柴比雪夫濾波器的轉換函數在s平面的Jω軸上有零點。

圖 3.(a) 階數K=3及止帶漣波=30dB的柴比雪夫濾波器振幅響應

圖 3.(b) 階數K=4及止帶漣波=30dB的柴比雪夫濾波器振幅響應

  這些將柴比雪夫與逆柴比雪夫濾波器具體化概念，可以透過通帶與止帶兩者中近似函數的等幅漣波來結合，進一步縮小過度帶帶寬。像這樣的近似函數稱為橢圓函數(elliptic function)，而使用這種函數得到濾波器稱為橢圓濾波器(elliptic filter)。對於已定的一組設計規格，過渡帶的寬度是我們所能達到者中之最小，再這個意義下，可以說橢圓濾波器是最佳化的。這允許了濾波器通帶與止帶間最小可能的分離。然而從分析觀點，決定轉換函數對巴特沃斯濾波器而言是最簡單的，而這對橢圓濾波器而言是最具挑戰性的。透過轉換函數再s-平面中僅有有限個零點這樣的優點，橢圓濾波器能夠到達她的最佳解，該零點的數量由濾波器的階數K為一決定。相對而言，巴特渥斯濾波器或柴比雪夫濾波器的轉換函數，其所有的零點位在S=∞的地方。